给出下面的数表序列：\[\begin{array}{cccccccccccccccccccc}
&\text{表}1&&&&&&\text{表}2&&&&&&\text{表}3&&&&&&\cdots \\
&1&&&&&1&&3&&&1&&3&&5&&&& \\
& &&&&& &4& &&&&4& &8&&&&& \\
& &&&&&&& &&& &&12&& &&&& \\
\end{array}\]其中表 $n\left(n=1,2,3 \cdots \right) $ 有 $ n $ 行，第 $1$ 行的 $ n $ 个数是 $1,3,5, \cdots , 2n-1$，从第 $2$ 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
&\text{表}1&&&&&&\text{表}2&&&&&&\text{表}3&&&&&&\cdots \\
&1&&&&&1&&3&&&1&&3&&5&&&& \\
& &&&&& &4& &&&&4& &8&&&&& \\
& &&&&&&& &&& &&12&& &&&& \\
\end{array}\]其中表 $n\left(n=1,2,3 \cdots \right) $ 有 $ n $ 行，第 $1$ 行的 $ n $ 个数是 $1,3,5, \cdots , 2n-1$，从第 $2$ 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
【难度】
【出处】
2010年高考湖南卷（文）
【标注】
-
写出表 $4$，验证表 $4$ 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 $n\left(n\geqslant 3\right)$（不要求证明）；标注答案略解析表 $4$ 为\[\begin{array}{ccccccc}
1& &3& &5& &7\\
&4& &8& &12& \\
&&12& & 20&&\\
& & &32& & & \\ \end{array}\]它的第 $1$，$2$，$3$，$4$ 行中的数的平均数分别是 $4$，$8$，$16$，$32$，它们构成首项为 $4$，公比为 $2$ 的等比数列．
将这一结论推广到表 $n\left(n \geqslant 3\right) $，即表 $n\left(n \geqslant 3\right) $ 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 $ n $，公比为 $2$ 的等比数列．
首先，表 $n\left( n \geqslant 3\right) $ 的第 $1$ 行 $1,3,5,\cdots , 2n-1$ 是等差数列，其平均数为\[\dfrac{1 + 3 + \cdots + \left(2n - 1\right)}{n} = n;\]其次，若表 $ n $ 的第 $ k\left(1\leqslant k\leqslant n-1\right) $ 行 ${a_1},{a_2}, \cdots ,{a_{n - k + 1}}$ 是等差数列，则它的第 $ k+1 $ 行 ${a_1} + {a_2},{a_2} + {a_3} \cdots ,{a_{n - k}} + {a_{n - k + 1}}$ 也是等差数列．
由等差数列的性质知，表 $ n $ 的第 $ k $ 行中的数的平均数与第 $ k+1 $ 行中的数的平均数分别是\[ \dfrac{{{a_1} + {a_{n - k + 1}}}}{2},\dfrac{{{a_1} + {a_2} + {a_{n - k}} + {a_{n - k + 1}}}}{2} = {a_1} + {a_{n - k + 1}}.\]由此可知，表 $n\left( n \geqslant 3\right) $ 各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 $ n $，公比为 $2$ 的等比数列． -
每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 $ 1$，$4$，$12$ $\cdots $，记此数列为 $\left\{ {b_n} \right\}$，求和：$\dfrac{b_3}{{{b_1}{b_2}}} + \dfrac{b_4}{{{b_2}{b_3}}} + \cdots \dfrac{{{b_{n + 2}}}}{{{b_n}{b_{n + 1}}}} \left(n \in { {\mathbb{N}}^{\ast}} \right) $．标注答案略解析表 $ n $ 的第 $1$ 行是 $1,3,5 , \cdots,2n-1$，其平均数是\[\dfrac{{1 + 3 + 5 + \cdots + \left(2{ n - 1 }\right)}}{n} = n.\]由（1）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 $ n $，公比为 $2$ 的等比数列（从而它的第 $ k $ 行中的数的平均数是 $n \cdot {2^{k - 1}}$）．
于是，表 $ n $ 中最后一行的唯一一个数为\[{b_n} = n \cdot {2^{n - 1}},\]因此\[\begin{split}\dfrac{{{b_{k + 2}}}}{{{b_k} {b_{k + 1}}}} & = \dfrac{{\left(k + 2\right){2^{k + 1}}}}{{k \cdot {2^{k - 1}} \cdot \left(k + 1\right) \cdot {2^k}}} \\& = \dfrac{k + 2}{{k\left(k + 1\right) \cdot {2^{k - 2}}}} \\&
= \dfrac{2\left(k + 1\right) - k}{{k\left(k + 1\right) \cdot {2^{k - 2}}}} \\& = \dfrac{1}{{k \cdot {2^{k - 3}}}} - \dfrac{1}{{\left(k + 1\right){2^{k - 2}}}}\left(k = 1,2,3, \cdots ,n\right),\end{split}\]故\[\begin{split}&\dfrac{b_3}{{{b_1}{b_2}}} + \dfrac{b_4}{{{b_2}{b_3}}} + \cdots + \dfrac{{{b_{n + 2}}}}{{{b_n}{b_{n + 1}}}} \\&=\left(\dfrac{1}{1\times2^{-2}}-\dfrac{1}{2\times2^{-1}}\right)+\left(\dfrac{1}{2\times2^{-1}}-\dfrac{1}{3\times2^0}\right)+\cdots+\left[\dfrac{1}{n\times2^{n-3}}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)\times2^{n-2}}\right] \\& = \dfrac{1}{{1 \times {2^{ - 2}}}} - \dfrac{1}{{\left(n + 1\right){2^{n - 2}}}}\\& = 4 - \dfrac{1}{{\left(n + 1\right) \times {2^{n - 2}}}}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
