为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 $ 8 {\mathrm{km}} $ 的 $A$，$B$ 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过 $A$，$B$ 两点的直线为 $ x $ 轴，线段 $AB$ 的垂直平分线为 $ y $ 轴建立平面直角坐标系（如图）．在直线 $ x=2 $ 的右侧，考察范围为到点 $ B $ 的距离不超过 $\dfrac{{6\sqrt 5 }}{5} {\mathrm{km}}$ 的区域；在直线 $ x=2 $ 的左侧，考察范围为到 $ A$，$B $ 两点的距离之和不超过 $4\sqrt 5 {\mathrm{km}} $ 的区域．
【难度】
【出处】
2010年高考湖南卷（理）
【标注】
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求考察区域边界曲线的方程；标注答案略解析设边界曲线上点 $ P $ 的坐标为 $\left(x,y\right)$．
当 $x \geqslant 2$ 时，由题意知\[{\left(x - 4\right)^2} + {y^2} = \dfrac{{36}}{5} .\]当 $x < 2$ 时，由 $|PA| + |PB| = 4\sqrt 5 $ 知，点 $ P $ 在以 $A$，$B$ 为焦点，长轴长为 $2a = 4\sqrt 5 $ 的椭圆上．此时短半轴长\[b = \sqrt {{{\left(2\sqrt 5 \right)}^2} - {4^2}} = 2 .\]因而其方程为\[\dfrac{{{x^2}}}{{20}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1 .\]故考察区域边界曲线（如图）的方程为\[{C_1}:{\left(x - 4\right)^2} + {y^2} = \dfrac{{36}}{5}\left(x \geqslant 2\right) 和 {C_2}:\dfrac{{{x^2}}}{{20}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\left(x < 2\right) .\]
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如图所示，设线段 ${P_1}{P_2}$，${P_2}{P_3}$ 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 $ 0.2 {\mathrm{km}} $，以后每年移动的距离为前一年的 $ 2 $ 倍．求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．标注答案略解析设过点 ${P_1}$，${P_2}$ 的直线为 ${l_1}$，过点 ${P_2}$，${P_3}$ 的直线为 ${l_2}$，则直线 ${l_1}$，${l_2}$ 的方程分别为\[y = \sqrt 3 x + 14,y = 6.\]设直线 $l$ 平行于直线 ${l_1}$，其方程为\[y = \sqrt 3 x + m,\]代入椭圆方程 $\dfrac{{{x^2}}}{{20}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1 $，消去 $y$，得\[16{x^2} + 10\sqrt 3 mx + 5\left({m^2} - 4\right) = 0 .\]由\[\Delta = 100 \times 3{m^2} - 4 \times 16 \times 5\left({m^2} - 4\right) = 0 ,\]解得\[m = 8 或 m = - 8 .\]从图中可以看出，当 $m = 8$ 时，直线 $l$ 与 ${C_2}$ 的公共点到 ${l_1}$ 的距离最近，
此时直线 $l$ 的方程为\[y = \sqrt 3 x + 8,\]$l$ 与 ${l_1}$ 之间的距离为 $d = \dfrac{{|14 - 8|}}{{\sqrt {1 + 3} }} = 3$．
又直线 ${l_2}$ 到 ${C_1}$ 和 ${C_2}$ 的最短距离\[d' = 6 - \dfrac{{6\sqrt 5 }}{5},\]而 $d' > 3$，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为 $ 3 $．
设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为 $n$ 年，则由题设及等比数列求和公式，得\[\dfrac{{0.2\left({2^n} - 1\right)}}{{2 - 1}} \geqslant 3 ,\]所以 $n \geqslant 4$．
故冰川边界线移动到考察区域所需的时间为 $ 4 $ 年．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
