已知 $x_1,x_2\in\mathbb R$，且 $x_1\ne x_2$，求证：$\dfrac{{\rm e}^{x_1-1}+{\rm e}^{x_2-1}}2>\dfrac{{\rm e}^{x_1-1}-{\rm e}^{x_2-1}}{x_1-x_2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $a={\rm e}^{x_1-1}$，$b={\rm e}^{x_2-1}$，则欲证命题为
新命题 已知 $a,b>0$ 且 $a\ne b$，求证：\[\dfrac{a+b}2>\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}.\]不妨设 $a>b$，则该不等式即\[\ln \dfrac ab>2\cdot \dfrac{a-b}{a+b},\]也即\[\ln\dfrac ab>2\cdot \dfrac{\dfrac ab-1}{\dfrac ab+1},\]因此该命题等价于\[\forall x>1,\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1}.\]设\[\varphi(x)=\ln x-\dfrac{2(x-1)}{x+1},\]则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}>0,\]于是函数 $\varphi(x)$ 单调递增，当 $x>1$ 时，有\[\varphi(x)>\varphi(1)=0,\]命题得证．
答案
解析
备注
