设 $x_1,x_2,x_3$ 是多项式方程 $x^3-10x+11=0$ 的三个根．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
已知 $x_1,x_2,x_3$ 都落在区间 $(-5,5)$ 之中，求这三个根的整数部分；标注答案$-3,1,2$解析设函数 $f(x)=x^3-10x+11$，则有$$\begin{array}{ccccccccccc}\hline f(-5)&f(-4)&f(-3)&f(-2)&f(-1)&f(0)&f(1)&f(2)&f(3)&f(4)&f(5)\\ \hline -64&-13&14&23&20&11&2&-1&8&35&86\\ \hline\end{array}$$结合零点存在性定理，这三个根的整数部分为 $-3,1,2$．
-
证明：$\arctan x_1+\arctan x_2+\arctan x_3=\dfrac{\pi}{4}$．标注答案略解析根据三次方程的韦达定理，有$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0,\\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-10,\\x_1x_2x_3=-11,\end{cases}$$原题即证明复数\[\begin{split}z_1=1+x_1\mathrm{i},\\z_2=1+x_2\mathrm{i},\\z_3=1+x_3\mathrm{i},\end{split}\]的辐角主值之和为 $\dfrac{\pi}{4}$，考虑到\[\begin{split}z_1\cdot z_2\cdot z_3&=1-(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+(x_1+x_2+x_3-x_1x_2x_3)\mathrm{i}\\&=11+11\mathrm{i},\end{split}\]因此，$\arctan x_1+\arctan x_2+\arctan x_3=\dfrac{\pi}{4}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
