设 $x_1,x_2,x_3$ 是多项式方程 $x^3-10x+11=0$ 的三个根．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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已知 $x_1,x_2,x_3$ 都落在区间 $(-5,5)$ 之中，求这三个根的整数部分；标注答案$-3,1,2$解析设函数 $f(x)=x^3-10x+11$，则有$$\begin{array}{ccccccccccc}\hline f(-5)&f(-4)&f(-3)&f(-2)&f(-1)&f(0)&f(1)&f(2)&f(3)&f(4)&f(5)\\ \hline -64&-13&14&23&20&11&2&-1&8&35&86\\ \hline\end{array}$$结合零点存在性定理，这三个根的整数部分为 $-3,1,2$．
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证明：$\arctan x_1+\arctan x_2+\arctan x_3=\dfrac{\pi}{4}$．标注答案略解析根据三次方程的韦达定理，有$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0,\\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-10,\\x_1x_2x_3=-11,\end{cases}$$设 $x_1<x_2<x_3$，由第一小问可知 $x_1<0,x_2,x_3>0$，设$$\arctan x_1=\alpha,\arctan x_2=\beta,\arctan x_2=\gamma,$$则可知$$\alpha\in\left(-\dfrac{\pi}{2},0\right),\beta,\gamma\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right),$$于是有$$\alpha+\beta+\gamma\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\pi\right),$$结合 $\tan(\arctan \theta)=\theta$，考虑到\[\begin{split}\tan(\alpha+\beta+\gamma)=&\dfrac{\tan(\alpha+\beta)+\tan\gamma}{1-\tan(\alpha+\beta)\cdot\tan\gamma}\\&=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma-\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma}{1-\tan\alpha\tan\beta-\tan\alpha\tan\gamma-\tan\beta\tan\gamma}\\&=\dfrac{(x_1+x_2+x_3)-x_1x_2x_3}{1-(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)}\\&=1,\end{split}\]因此，$\arctan x_1+\arctan x_2+\arctan x_3=\dfrac{\pi}{4}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
