题目 如图，棱柱 $ ABC-A_{1}B_{1}C_{1} $ 的侧面 $ BCC_{1}B_{1} $ 是菱形，$ B_{1}C\perp A_{1}B $．<br><img src="/static/images/45d4dc0e04384cc5e799b47a921ef666.png" class="img-responsive" />  问题1 证明：平面 $ AB_{1}C\perp $ 平面 $ A_{1}BC_{1} $； 答案1 略 解析1 因为侧面 $ BCC_{1}B_{1} $ 是菱形，所以 $ B_{1}C\perp BC_{1} $．<br/>又已知 $ B_{1}C\perp A_{1}B $，且 $ A_{1}B\cap BC_{1}=B $，<br/>所以 $ B_{1}C\perp $ 平面 $ A_{1}BC_{1} $，<br/>又 $ B_{1}C \subset $ 平面 $ AB_{1}C $，<br/>所以平面 $ AB_{1}C\perp $ 平面 $ A_{1}BC_{1} $． 备注1 问题2 设 $ D $ 是 $ A_{1}C_{1} $ 上的点，且 $ A_{1}B\parallel $ 平面 $ B_{1}CD $，求 $ A_{1}D:DC_{1} $ 的值． 答案2 略 解析2 如图，设 $ BC_{1} $ 交 $ B_{1}C $ 于点 $ E $，连接 $ DE $，<br/>则 $ DE $ 是平面 $ A_{1}BC_{1} $ 与平面 $ B_{1}CD $ 的交线．<img src="/static/images/31ba78c53212c26faeb24276b9bef2ad.png" class="img-responsive" /> 因为 $ A_{1}B\parallel $ 平面 $ B_{1}CD $，所以 $ A_{1}B\parallel DE $．<br/>又 $ E $ 是 $ BC_{1} $ 的中点，所以 $ D $ 为 $ A_{1}C_{1} $ 的中点，<br/>即 $ A_{1}D:DC_{1}=1 $． 备注2