题目 已知 $0<x<\dfrac{\pi}{2}<y<\pi$，$\sin(x+y)=\dfrac 5{13}$． 问题1 若 $\tan{\dfrac x2}=\dfrac 12$，求 $\cos {2x}$ 和 $\cos y$ 的值； 答案1 $\cos{2x}=-\dfrac{7}{25}$，$\cos y=-\dfrac{16}{65}$ 解析1 由 $\tan {\dfrac x2}=\dfrac 12$ 可得$$\tan x=\dfrac 43.$$因为 $0<x<\dfrac{\pi}{2}<y<\pi$，所以$$\sin x=\dfrac 45,\cos x=\dfrac 35.$$进而可得$$\cos {2x}=\cos ^2x-\sin ^2x=-\dfrac 7{25}.$$因为 $\dfrac{\pi}{2}<x+y<\dfrac{3\pi}{2}$ 且 $\sin(x+y)>0$，所以$$\dfrac{\pi}{2}<x+y<\pi,$$所以$$\cos(x+y)=-\dfrac{12}{13},$$所以\[\begin{split}\cos y&=\cos(x+y-x)\\&=\cos(x+y)\cos x+\sin(x+y)\sin x\\&=-\dfrac{16}{65}.\end{split}\] 备注1 问题2 比较 $\sin y$ 与 $\sin(x+y)$ 的大小，并说明理由． 答案2 $\sin y>\sin(x+y)$ 解析2 由 $\cos y=-\dfrac{16}{65}$，$\dfrac{\pi}{2}<y<\pi$ 得$$\sin y=\dfrac{63}{65}.$$而$$\sin(x+y)=\dfrac{5}{13}<\dfrac {63}{65},$$所以$$\sin y>\sin(x+y).$$ 备注2