已知函数 $f(x)=\dfrac 14x^2-4x+16-a$，且当 $x\in[0,b]$ 时，对应的函数值的取值范围是 $[0,3b]$，求 $a,b$ 的值．
【难度】
【出处】
2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$(a,b)=(4,4),\left(0,14+2\sqrt{33}\right)$
【解析】
根据题意可知 $f(x)$ 在 $(-\infty,8)$ 单调递减，在 $[8,+\infty)$ 单调递增．
当 $0<b\leqslant 8$ 时，$f(x)$ 在 $[0,b]$ 上单调递减，所以$$\begin{cases}f(0)=3b,\\ f(b)=0.\end{cases}$$所以 $a=b=4$．
当 $8<b<16$ 时，$f(x)$ 在 $[0,8)$ 上单调递减，在 $[8,b]$ 上单调递增，所以$$\begin{cases}f(8)=0,\\ f(0)=3b,\end{cases}$$解得 $a=0$，$b=\dfrac{16}{3}$，不符合题意．
当 $b\geqslant 16$ 时，$f(x)$ 在 $[0,8)$ 上单调递减，在 $[8,b]$ 上单调递增，所以$$\begin{cases}f(8)=0,\\
f(b)=3b,\end{cases}$$所以 $a=0$，$b=14+2\sqrt{33}$．
综上，$a=b=4$ 或 $a=0$，$b=14+2\sqrt{33}$．
当 $0<b\leqslant 8$ 时，$f(x)$ 在 $[0,b]$ 上单调递减，所以$$\begin{cases}f(0)=3b,\\ f(b)=0.\end{cases}$$所以 $a=b=4$．
当 $8<b<16$ 时，$f(x)$ 在 $[0,8)$ 上单调递减，在 $[8,b]$ 上单调递增，所以$$\begin{cases}f(8)=0,\\ f(0)=3b,\end{cases}$$解得 $a=0$，$b=\dfrac{16}{3}$，不符合题意．
当 $b\geqslant 16$ 时，$f(x)$ 在 $[0,8)$ 上单调递减，在 $[8,b]$ 上单调递增，所以$$\begin{cases}f(8)=0,\\
f(b)=3b,\end{cases}$$所以 $a=0$，$b=14+2\sqrt{33}$．
综上，$a=b=4$ 或 $a=0$，$b=14+2\sqrt{33}$．
答案
解析
备注
