题目 已知函数 $f(x)=x^2-2x+1$，$g(x)=2a\ln (x-1)$（$a\in\mathbb R$）． 问题1 求函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 的极值； 答案1 在 $x=1+\sqrt a$ 处取得极小值为 $a-a\ln a$；没有极大值 解析1 函数 $h(x)$ 的导函数\[h'(x)=\dfrac 2{x-1}\cdot (x^2-2x-a+1),\]于是\[\begin{array} {c|ccc}\hline<br/>x&\left(1,1+\sqrt a\right)&1+\sqrt a&\left(1+\sqrt a,+\infty\right)\\ \hline<br/>h'(x)&-&0&+\\ \hline<br/>h(x)&\searrow&a-a\ln a&\nearrow\\ \hline\end{array}\]因此函数 $h(x)$ 在 $x=1+\sqrt a$ 处取得极小值\[h\left(1+\sqrt a\right)=a-a\ln a.\] 备注1 问题2 当 $a>0$ 时，若存在实数 $k,m$ 使不等式 $g(x)\leqslant kx+m\leqslant f(x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围． 答案2 $(0,{\rm e}]$ 解析2 根据题意，有\[\forall x>1,f(x)-g(x)\geqslant 0,\]于是由第 $(1)$ 小题的结果，有\[a-a\ln a\geqslant 0,\]于是\[0<a\leqslant {\rm e}.\]考虑 $f(x),g(x)$ 在 $x=t+1$ 处的切线，分别为\[\begin{split} l_1:y&=2t(x-t-1)+t^2,\\ l_2:y&=\dfrac{2a}t(x-t-1)+2a\ln t,\end{split}\]取 $t=\sqrt a$，则有\[\forall x>1,g(x)\leqslant 2\sqrt a\left(x-\sqrt a-1\right)+a\ln a\leqslant 2\sqrt a\left(x-\sqrt a-1\right)+a\leqslant f(x),\]因此实数 $a$ 的取值范围是 $(0,{\rm e}]$． 备注2