题目

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已知平面上的线段 $l$ 及点 $P$，在 $l$ 上任取一点 $Q$，线段 $PQ$ 长度的最小值称为点 $P$ 到线段 $l$ 的距离，记作 $d\left(P,l\right)$．

【难度】

【出处】

2011年高考上海卷（理）

【标注】

方法
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思考方式
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信息迁移
方法
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思考方式
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信息迁移
方法
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思考方式
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信息迁移
题型
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解析几何
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解析几何创新题

求点 $P\left(1,1\right)$ 到线段 $l:x - y - 3 = 0$ $\left(3 \leqslant x \leqslant 5\right)$ 的距离 $d\left(P,l\right)$；
标注
- 方法
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  思考方式
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  信息迁移
答案

$\sqrt 5$

解析

如图，线段的端点为 $A(3,0)$ 和 $B(5,2)$．根据定义，$$d(P,l)=|PA|=\sqrt 5.$$
设 $l$ 是长为 $ 2 $ 的线段，求点的集合 $D = \left\{ P\left| d\left(P,l\right) \leqslant 1\right\} \right.$ 所表示的图形面积；
标注
- 方法
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  思考方式
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  信息迁移
答案

$\pi+4$

解析

如图，分区考虑，图形面积为 $\pi+4$．
写出到两条线段 ${l_1}$，${l_2}$ 距离相等的点的集合 $\Omega = \left\{ P\left| d\left(P,{l_1}\right) = d\left(P,{l_2}\right)\right\} \right.$，其中 ${l_1} = AB$，${l_2} = CD$，$A,B,C,D$ 是下列三组点中的一组．
① $A\left(1,3\right)$，$B\left(1,0\right)$，$C\left( - 1,3\right)$，$D\left( - 1,0\right)$．
② $A\left(1,3\right)$，$B\left(1,0\right)$，$C\left( - 1,3\right)$，$D\left( - 1, - 2\right)$．
③ $A\left(0,1\right)$，$B\left(0,0\right)$，$C\left(0,0\right)$，$D\left(2,0\right)$．
标注
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  信息迁移
- 题型
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  解析几何
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  解析几何创新题
答案

① $\Omega=\{(x,y)\mid x=0\}$．
②$$\Omega=\left\{(x,y)\mid \begin{cases} x=0,\\y\geqslant 0,\end{cases}\right\}\cup\left\{(x,y)\mid\begin{cases} y^2=4x,\\-2\leqslant y<0,\end{cases}\right\}\cup\left\{(x,y)\mid \begin{cases} x+y+1=0,\\y<-2\end{cases} \right\}.$$③$$\Omega=\left\{(x,y)\mid \begin{cases} x\leqslant 0,\\y\leqslant 0,\end{cases}\right\}\cup\left\{(x,y)\mid\begin{cases} y=x,\\0<x\leqslant 1,\end{cases}\right\}\cup\left\{(x,y)\mid \begin{cases} x^2=2y-1,\\1<x\leqslant 2,\end{cases} \right\}\cup\left\{(x,y)\mid \begin{cases} 4x-2y-3=0,\\x>2\end{cases} \right\}.$$

解析

如图，分区考虑，可能是垂直平分线、角平分线、抛物线等等．
① $\Omega=\{(x,y)\mid x=0\}$．
② 按纵坐标的范围分区域考虑得到$$\Omega=\left\{(x,y)\mid \begin{cases} x=0,\\y\geqslant 0,\end{cases}\right\}\cup\left\{(x,y)\mid\begin{cases} y^2=4x,\\-2\leqslant y<0,\end{cases}\right\}\cup\left\{(x,y)\mid \begin{cases} x+y+1=0,\\y<-2\end{cases} \right\}.$$③ 分区域考虑$$\Omega=\left\{(x,y)\mid \begin{cases} x\leqslant 0,\\y\leqslant 0,\end{cases}\right\}\cup\left\{(x,y)\mid\begin{cases} y=x,\\0<x\leqslant 1,\end{cases}\right\}\cup\left\{(x,y)\mid \begin{cases} x^2=2y-1,\\1<x\leqslant 2,\end{cases} \right\}\cup\left\{(x,y)\mid \begin{cases} 4x-2y-3=0,\\x>2\end{cases} \right\}.$$如下图：