题目 已知函数 $f(x)=\ln\left(\dfrac {mx}{x+1}+n\right)$，其中 $m,n\in\mathbb R$，$m>0$．函数 $f(x)$ 的图象关于原点对称． 问题1 求 $m,n$ 的值； 答案1 $m=2$，$n=-1$ 解析1 函数\[f(x)=\ln\dfrac{(m+n)x+n}{x+1},\]于是关于 $x$ 的不等式\[\dfrac{(m+n)x+n}{x+1}>0\]的解集关于原点对称，于是\[m+2n=0,\]进而\[f(x)=\lg\dfrac{m(x-1)}{2(x+1)},\]考虑到\[\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}f(x)=\ln\dfrac m2,\]于是 $m=2$，$n=-1$． 备注1 问题2 若 $x_1x_2>0$，试比较 $f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)$ 与 $\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}2$ 的大小，并说明理由． 答案2 $\begin{cases} f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)>\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}2,&x_1>1,\\<br/>f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}2,&x_1<-1.\end{cases}$ 解析2 根据第 $(1)$ 小题的结果，有\[f(x)=\ln\dfrac{x-1}{x+1},\]函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$．<br/><case>情形一</case> $x_1,x_2>0$，不妨设 $x_1>x_2>1$．构造函数\[g(x)=f(x+a)-f(x),x>1,\]其中 $a>0$．有\[g'(x)=f'(x+a)-f'(x)=\dfrac{2}{(x+a)^2-1}-\dfrac{2}{x^2-1}<0,\]于是 $g(x)$ 单调递减，令 $a=\dfrac{x_1-x_2}2$，又\[\dfrac{x_1+x_2}2>x_2,\]于是\[f\left(\dfrac{x_1+x_2}2+\dfrac{x_1-x_2}2\right)-f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)<f\left(x_2+\dfrac{x_1-x_2}2\right)-f(x_2),\]也即\[\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}2<f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right).\]<case>情形二</case> $x_1,x_2<0$，此时根据情形一的结论，有\[\dfrac{f(-x_1)+f(-x_2)}2<f\left(\dfrac{-x_1-x_2}2\right),\]于是\[\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}2>f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right).\] 备注2