2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（二试）

情形一当 $1<a<\dfrac54$，时，解集为$$\left(0,a^{\frac{1-\sqrt{5+4a}}{2}}\right)\cup\left(a^{-\frac{1+\sqrt{5-4a}}{2}},a^{\frac{\sqrt{5-4a}-1}{2}}\right)\cup\left(a^{\frac{1-\sqrt{5-4a}}{2}},a^{\frac{1+\sqrt{5-4a}}{2}}\right)\cup\left(a^{\frac{\sqrt{4a+5}-1}{2}},+\infty\right).$$情形二当 $a\geqslant \dfrac54$ 时，解集为$$\left(0,a^{\frac{1-\sqrt{4a+5}}{2}}\right)\cup\left(a^{\frac{\sqrt{4a+5}-1}{2}},+\infty\right).$$

设 $t={\log_a}x$，则原不等式等价于$$|t^2-1|+|t|-a>0,a>1.$$记上述不等式左边为函数 $f(t)$，显然 $f(t)$ 为偶函数，因此仅需求出 $t\geqslant 0$ 时的解集．
第一段 当 $t\geqslant 1$ 时，即解不等式$$t^2+t-1-a>0,$$由于 $a>1$，所以上述不等式在 $t\geqslant 1$ 时有解，且解集为 $\left(\dfrac{\sqrt{4a+5}-1}{2},+\infty\right)$．
第二段当 $0\leqslant t<1$ 时，即解不等式$$t^2-t+a-1<0,a>1.$$上述不等式对应一元二次方程的判别式$$\Delta=5-4a,$$因此对 $a$ 以 $\dfrac54$ 为分界点进行讨论．
当 $a\geqslant \dfrac54$ 时，不等式无解．
当 $1<a<\dfrac54$ 时，不等式的解集为$$\left(\dfrac{1-\sqrt{5-4a}}{2},\dfrac{1+\sqrt{5-4a}}{2}\right).$$又考虑到 $f(t)$ 为偶函数，所以综上考虑原不等式的解集分情况给出如下：
情形一当 $1<a<\dfrac54$，时，解集为$$\left(0,a^{\frac{1-\sqrt{5+4a}}{2}}\right)\cup\left(a^{-\frac{1+\sqrt{5-4a}}{2}},a^{\frac{\sqrt{5-4a}-1}{2}}\right)\cup\left(a^{\frac{1-\sqrt{5-4a}}{2}},a^{\frac{1+\sqrt{5-4a}}{2}}\right)\cup\left(a^{\frac{\sqrt{4a+5}-1}{2}},+\infty\right).$$情形二当 $a\geqslant \dfrac54$ 时，解集为$$\left(0,a^{\frac{1-\sqrt{4a+5}}{2}}\right)\cup\left(a^{\frac{\sqrt{4a+5}-1}{2}},+\infty\right).$$