已知双曲线 $C$ 的中心在坐标原点 $O$，两条准线的距离为 $\dfrac{32}{5}$，其中一个焦点恰与抛物线 $x^2+10x-4y+21=0$ 的焦点重合．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
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求双曲线 $C$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$解析设双曲线的焦距为 $2c$，实轴长为 $2a$，虚轴长为 $2b$，$a,b,c>0$．抛物线方程整理为$$(x+5)^2=4(y+1),$$其焦点坐标为 $(-5,0)$，所以 $c=5$，又因为两条准线距离为 $\dfrac{32}{5}$，即有$$2\cdot\dfrac{a^2}{c}=\dfrac{32}{5},$$所以 $a=4$，进而$$b=\sqrt{c^2-a^2}=3.$$因此所求双曲线方程为$$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1.$$
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若 $P$ 为 $C$ 上任意一点，$A$ 为双曲线的右顶点，通过 $P,O$ 的直线与从 $A$ 所引平行于渐近线的直线分别交于 $Q,R$，试证明 $|OP|$ 是 $|OQ|$ 与 $|OR|$ 的等比中项．标注答案略解析过 $A$ 点且与双曲线两条渐近线平行的两条直线分别记为$$\begin{split} &l_1:x=\dfrac43y+4,\\
&l_2:x=-\dfrac43y+4,\end{split}$$设 $P(x,y)$ 为双曲线上除实轴端点以外的任意一点，直线 $OP$ 分别与 $l_1$ 和 $l_2$ 交于点 $Q(x_1,y_1),R(x_2,y_2)$．原题即等价证明$$y^2=y_1\cdot y_2.$$由于 $O,P,Q$ 三点共线，所以$$\dfrac yx=\dfrac{y_1}{\dfrac43y_1+4},$$解得$$y_1=\dfrac{12y}{3x-4y},$$同理可得$$y_2=\dfrac{12y}{3x+4y},$$于是$$y_1y_2=\dfrac{12^2y^2}{9x^2-16y^2}=y^2.$$证毕．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
