已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=3$，$a_{n+1}=a_n+3n^2+3n+2-\dfrac1{n(n+1)},n\in\mathbb N^\ast$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=n^3+n+\dfrac1n,n\in\mathbb N^\ast$解析根据题意由于$$a_{n+1}-a_{n}=3n^2+3n+2-\dfrac1{n(n+1)},$$累加可得$$\begin{split} a_n&=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\\
&=3+\sum_{k=1}^{n-1}(3k^2+3k+2)-\sum_{k=1}^{n-1}\left(\dfrac1k-\dfrac1{k+1}\right)\\
&=n^3+n+\dfrac1n. \end{split}$$其中 $n\in\mathbb N^\ast.$ -
证明：$\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac1{a_k}<\dfrac12$．标注答案略解析根据题意$$\begin{split} LHS &=\sum_{k=1}^n\dfrac1{a_k}\\
&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{k^4+k^2+1}\\
&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{(k^2+k+1)(k^2-k+1)}\\
&=\sum_{k=1}^n\dfrac12\left(\dfrac1{k^2-k+1}-\dfrac1{k^2+k+1}\right)\\
&=\dfrac12\left(1-\dfrac1{n^2+n+1}\right)\\
&<\dfrac12.\end{split}$$于是证毕．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
