设函数 $f_n(x)=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\cdots+\dfrac{(-1)^{n+1}\cdot x^n}{n}-\ln (1+x),n\in\mathbb N^{\ast}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
判断 $f_n(x)$ 在 $(0,1)$ 内的单调性；标注答案当 $n$ 是奇数时，函数 $f_n(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调递增；当 $n$ 是偶数时，函数 $f_n(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调递减解析函数 $f_n(x)$ 的导函数\[\begin{split} f'_n(x)&=1-x+x^2-\cdots+(-1)^{n+1}\cdot x^n-\dfrac{1}{1+x}\\
&=\dfrac{1-(-1)^{n+1}\cdot x^n\cdot (-x)}{1-(-x)}-\dfrac{1}{1+x}\\
&=(-1)^{n+1}\cdot \dfrac{x^{n+1}}{1+x},\end{split}\]因此当 $n$ 是奇数时，函数 $f_n(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调递增；当 $n$ 是偶数时，函数 $f_n(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调递减． -
求最大的整数 $\alpha$，使得 $|f_n(x)|<\dfrac{1}{n^{\alpha}}$ 对所有 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 及 $x\in (0,1)$ 都成立．标注答案$1$解析根据第 $(1)$ 小题的结果，函数 $|f_n(x)|$ 在 $(0,1)$ 内的取值范围是 $\left(0,f_n(1)\right)$．因此问题等价于\[\forall n\in \mathbb N^{\ast},\left|1-\dfrac 12+\dfrac 13-\cdots+\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}-\ln 2\right|<\dfrac{1}{n^{\alpha}}.\]若 $\alpha\geqslant 2$，取 $n=3$，则\[\left|1-\dfrac 12+\dfrac 13-\ln 2\right|>\dfrac 19\geqslant \dfrac{1}{3^\alpha},\]不符合题意．接下来证明 $\alpha$ 可以取 $1$．根据第 $(1)$ 小题的结果，$f_n(x)$ 与 $f_{n+1}(x)$ 异号，又\[\left|f_{n+1}(x)-f_{n}(x)\right|=\dfrac{x^{n+1}}{n},\]于是\[\forall n\in \mathbb N^{\ast},\left|f_n(x)\right|<\dfrac{x_{n+1}}{n}<\dfrac 1n,\]因此 $\alpha=1$ 符合题意．
综上所述，最大的整数 $\alpha$ 为 $1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
