已知中心在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上的椭圆过点 $P(2,3)$，且它的离心率 $e=\dfrac12$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆的标准方程；标注答案$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$解析由题设椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，半焦距为 $2c$，则$$\begin{cases}\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{9}{b^2}=1,\\\dfrac{c}{a}=\dfrac12,\\a^2=b^2+c^2,\end{cases}$$解得$$(a,b,c)=\left(4,2\sqrt3,2\right),$$因此椭圆的标准方程为 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$．
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与圆 $(x+1)^2+y^2=1$ 相切的直线 $l:y=kx+t$ 交椭圆于 $M,N$ 两点，若椭圆上一点 $C$ 满足 $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\lambda\overrightarrow{OC}$，求实数 $\lambda$ 的取值范围．标注答案略解析由直线与圆相切，故$$\dfrac{|t-k|}{\sqrt{1+k^2}}=1,$$解得 $2k=\dfrac{t^2-1}{t}$，其中 $t\ne0$．
根据垂径定理，设直线 $OC$ 的斜率为 $k_0$，当 $k\ne0$ 时，则有$$k_0\cdot k=-\dfrac34,$$解得 $k_0=\dfrac{3}{4k}$，故直线 $OC$ 的方程为$$y=-\dfrac{3}{4k}x,$$设 $MN$ 的中点为 $D$，联立 $MN$ 与 $OC$，解得$$D\left(-\dfrac{4kt}{4k^2+3},\dfrac{3t}{4k^2+3}\right),$$经检验 $k=0$ 时，同样符合上式，结合 $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\lambda\overrightarrow{OC}$，可得$$C\left(-\dfrac{8kt}{\left(4k^2+3\right)\lambda},\dfrac{6t}{\left(4k^2+3\right)\lambda}\right),$$结合 $C$ 在椭圆上，代入并整理得$$\lambda^2=\dfrac{t^2}{4k^2+3}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{t^2}\right)^2+\dfrac{1}{t^2}+1},$$解得 $\lambda^2\in(0,1)$，因此 $\lambda$ 的取值范围是 $(-1,0)\cup(0,1)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
