题目 已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,a>b>0$．离心率为 $e=\dfrac{\sqrt3}{2}$，已知点 $P\left(0,\dfrac32\right)$ 到椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt{57}}{2}$，设经过点 $P$ 且斜率存在的直线与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的中垂线与 $x$ 轴相交于一点 $Q$． 问题1 求椭圆 $C$ 的标准方程； 答案1 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}4=1$ 解析1 设椭圆的焦距为 $2c$，则由于 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt3}2$，且$$PF^2=c^2+\dfrac94.$$解得$$(a,b,c)=(4,2,2\sqrt3),$$所以所求椭圆的标准方程为$$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}4=1.$$ 备注1 问题2 求点 $Q$ 的横坐标 $x_0$ 的取值范围． 答案2 $\left[-\dfrac98,\dfrac98\right]$ 解析2 略 备注2