已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,a>b>0$．离心率为 $e=\dfrac{\sqrt3}{2}$，已知点 $P\left(0,\dfrac32\right)$ 到椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt{57}}{2}$，设经过点 $P$ 且斜率存在的直线与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的中垂线与 $x$ 轴相交于一点 $Q$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $C$ 的标准方程；标注答案$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}4=1$解析设椭圆的焦距为 $2c$，则由于 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt3}2$，且$$PF^2=c^2+\dfrac94.$$解得$$(a,b,c)=(4,2,2\sqrt3),$$所以所求椭圆的标准方程为$$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}4=1.$$
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求点 $Q$ 的横坐标 $x_0$ 的取值范围．标注答案$\left[-\dfrac98,\dfrac98\right]$解析设点 $A,B$ 坐标分别为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$．设直线 $AB$ 的斜率为 $k$，由于直线 $AB$ 经过椭圆内部的定点 $P\left(0,\dfrac32\right)$，因此 $k\in\mathbb R$，直线 $AB$ 的方程$$y=kx+\dfrac32.$$记 $AB$ 线段中点 $M(x',y')$．联立直线方程与椭圆方程可得$$(1+4k^2)x^2+12kx-7=0.$$由于 $x'=\dfrac12(x_1+x_2)$，所以根据韦达定理可得$$x'=\dfrac12(x_1+x_2)=-\dfrac{6k}{1+4k^2},$$代入直线方程可得$$y'=\dfrac{3}{2+8k^2}.$$当 $k=0$ 时，此时 $x_0=0$；
当 $k\neq 0$ 时，此时线段 $AB$ 的中垂线方程可写出$$y=-\dfrac1k(x-x')+y',$$该直线 $x$ 轴交点 $Q$ 的横坐标$$x_0=ky'+x'=-\dfrac{9k}{2+8k^2},k\neq 0,k\in\mathbb R.$$此时 $x_0$ 的取值范围为$$\left[-\dfrac98,0\right)\cup\left(0,\dfrac98\right].$$综上可得 $x_0$ 的取值范围为 $\left[-\dfrac98,\dfrac98\right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
