对于序列 $A_0:a_1,a_2,\cdots,a_n,n\in\mathbb N^\ast$，实施变换 $T$ 得到序列 $A_1:a_1+a_2$，$a_2+a_3,\cdots$，$a_{n-1}+a_n$；记作 $A_1=T(A_0)$．对 $A_1$ 继续实施变换 $T$ 得序列 $A_2=T(A_1)=T(T(A_0))$，记作 $A_2=T_2(A_0)$；$\cdots$；$A_{n-1}=T_{n-1}(A_0)$．最后得到的序列 $A_{n-1}$ 只有一个数，记作 $S(A_0)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若序列 $A_0$ 为 $1,2,3$，求 $S(A_0)$；标注答案$8$解析根据题意$$\begin{split} &A_1:3,5\\
&A_2:8\end{split}$$因此$$S(A_0)=A_2=8.$$ -
若序列 $A_0$ 为 $1,2,\cdots,n$，求 $S(A_0)$；标注答案$S(A_0)=(n+2)2^{n-1}$解析把 $A_0$ 序列中的 $n$ 个数，按照变换规则 $T$ 连续变换 $n-1$ 次，最终得到的数$$S(A_0)=\mathrm{C}_{n-1}^0\cdot 1+\mathrm{C}_{n-1}^1\cdot 2+\cdots+\mathrm{C}_{n-1}^{n-1}\cdot n.$$倒序相加求和可得$$S(A_0)=(n+2)2^{n-1}.$$
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若序列 $A$ 和 $B$ 一样，则称 $A$ 与 $B$ 相等，记作 $A=B$，若序列 $B$ 为序列 $A_0:1,2,\cdots,n$ 的一个排列，请问：$B=A_0$ 是 $S(B)=S(A_0)$ 的什么条件？请说明理由．标注答案充分不必要条件解析显然若 $B=A_0$，则 $S(B)=S(A_0)$；
而当 $S(B)=S(A_0)$ 时，未必就有 $B=A_0$，如取序列 $B:n,n-1,\cdots,1$．
因此综上所述可知，$B=A_0$ 是 $S(B)=S(A_0)$ 的充分不必要条件．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
