题目 已知数列 $A_n:a_1,a_2,\cdots,a_n$．如果数列 $B_n:b_1,b_2,\cdots,b_n$ 满足 $b_1=a_n,b_k=a_{k-1}+a_{k}-b_{k-1}$，其中 $k=2,3,\cdots,n$，则称 $B_n$ 为 $A_n$ 的"衍生数列"． 问题1 若数列 $A_4:a_1,a_2,a_3,a_4$ 的"衍生数列"是 $B_4:5,-2,7,2$，求 $A_4$； 答案1 $A_4:2,1,4,5$ 解析1 根据题意有$$\begin{split} &a_4=b_1,\\&a_4+a_3=b_4+b_3,\\<br/>&a_3+a_2=b_3+b_2,\\<br/>&a_2+a_1=b_2+b_1,<br/>\end{split}$$由于$$(b_1,b_2,b_3,b_4)=(5,-2,7,2),$$代入解得$$A_4:2,1,4,5.$$ 备注1 问题2 若 $n$ 为偶数，且 $A_n$ 的"衍生数列"是 $B_n$，证明：$B_n$ 的"衍生数列"是 $A_n$； 答案2 略 解析2 仅需证明 $a_1=b_n$．由于 $n$ 是偶数，并且 $A_n$ 的"衍生数列"是 $B_n$，所以有$$\begin{split} &b_1=a_n,\\<br/>&b_1+b_2=a_1+a_2,\\<br/>&b_3+b_4=a_3+a_4,\\<br/>&b_5+b_6=a_5+a_6,\\<br/>&\cdots\\<br/>&b_{n-1}+b_{n}=a_{n-1}+a_n. \end{split}$$累加可得$$\sum_{k=1}^nb_k=\sum_{k=1}^na_k.$$又因为$$\begin{split} &b_2+b_3=a_2+a_3,\\<br/>&b_4+b_5=a_4+a_5,\\<br/>&\cdots\\<br/>&b_{n-2}+b_{n-1}=a_{n-2}+a_{n-1}.<br/>\end{split}$$累加可得$$\sum_{k=2}^{n-1}b_k=\sum_{k=2}^{n-1}a_k,$$于是有$$a_1+a_n=b_1+b_n,$$由于 $b_1=a_n$，所以$$a_1=b_n.$$又$$a_k=b_k+b_{k-1}-a_{k-1},$$因此 $B_n$ 的"衍生数列"是 $A_n$． 备注2 问题3 若 $n$ 为奇数，且 $A_n$ 的"衍生数列"是 $B_n$，$B_n$ 的衍生数列是 $C_n$，．．．，依次将数列 $A_n,B_n,C_n,\cdots$ 的第 $i$（$i=1,2,3,\cdots ,n$）项取出，构成数列 $\Omega_i:a_i,b_i,c_i,\cdots$．求证：$\Omega_i$ 是等差数列． 答案3 略 解析3 由于$$a_i+a_{i+1}=b_i+b_{i+1}=c_i+c_{i+1}=\cdots,$$所以$$\begin{split} &b_i-a_i=-(b_{i+1}-a_{i+1}),\\<br/>&c_i-b_i=-(c_{i+1}-b_{i+1}),\\<br/>&\cdots\end{split}$$因此要证明 $a_i,b_i,c_i,\cdots$ 为等差数列，仅需证明 $a_1,b_1,c_1$ 为等差数列．因为$$\begin{split} &a_1+a_2=b_1+b_2,\\<br/>&a_2+a_3=b_2+b_3,\\<br/>&a_3+a_4=b_3+b_4,\\<br/>&\cdots\\<br/>&a_{n-1}+a_n=b_{n-1}+b_{n}. \end{split}$$所以$$\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}(a_k+a_{k+1})=\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}(b_k+b_{k+1}),$$即$$a_1-a_n=b_1-b_n,$$由于 $B_n,C_n$ 分别为 $A_n,B_n$ 的"衍生数列"，因此$$(b_1,c_1)=(a_n,b_n),$$所以有$$a_1-b_1=b_1-c_1,$$因此 $a_1,b_1,c_1$ 为等差数列．于是原题证毕． 备注3