已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,a>b>0$ 的一个焦点为 $F\left(\sqrt2,0\right)$，其短轴上的一个端点到 $F$ 的距离为 $\sqrt3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $C$ 的离心率及标准方程；标注答案$e=\dfrac{\sqrt6}3$，$\dfrac{x^2}{3}+y^2=1$解析设椭圆的半长轴，半短轴，半焦距分别为 $a,b,c$，则依题意有$$c=\sqrt2,a=\sqrt3.$$所以 $b=\sqrt{a^2-c^2}=1$，因此椭圆的离心率为$$e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt6}{3},$$标准方程为$$\dfrac{x^2}{3}+y^2=1.$$
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点 $P(x_0,y_0)$ 是圆 $G:x^2+y^2=4$ 上的动点，过点 $P$ 作椭圆 $C$ 的切线 $l_1,l_2$ 交圆 $G$ 于点 $M,N$，求证：线段 $MN$ 的长为定值．标注答案略解析事实上，圆 $G$ 为椭圆 $C$ 对应的蒙日（$\mathrm{Monge}$）圆，因此不难知道 $\angle MPN=\dfrac{\pi}2$，于是线段 $MN$ 为圆 $G$ 的直径长为定值 $4$．证明如下：
当直线 $PM$ 斜率为 $0$ 或不存在时，易求得 $MN=4$；
当直线 $PM$ 斜率存在且不为 $0$ 时，直线 $PN$ 的斜率也存在且不为 $0$，分别设两直线的斜率为 $k_1,k_2$，设点 $P(x_0,y_0)$，由于点 $P$ 在圆 $G$ 上，因此$$x_0^2+y_0^2=4,$$设过点 $P$ 的直线方程为$$y=k(x-x_0)+y_0,$$由于直线与椭圆相切，因此由等效判别式为 $0$ 可得$$\Delta_0=3k^2+1-(y_0-kx_0)^2=0.$$即得一关于 $k$ 的一元二次方程$$(3-x_0^2)k^2+2x_0y_0k+1-y_0^2=0.$$其中 $k_1,k_2$ 恰为上述方程的两个解，根据韦达定理可得$$k_1k_2=\dfrac{1-y_0^2}{3-x_0^2}=-1,$$所以 $PM\perp PN$，因此圆周角 $\angle MPN$ 所对的弦长 $MN$ 即圆 $G$ 的直径，所以 $MN=4$ 为定长．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
