已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\dfrac{3^{n}-1}{2}$，求证：$\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac1{a_k}<\dfrac32$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为$$\forall n\in \mathbb N^\ast,3^n-1\geqslant 2\cdot 3^{n-1},$$所以$$\forall n\in\mathbb N^\ast,\dfrac{2}{3^n-1}\leqslant \dfrac1{3^{n-1}},$$所以$$\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{a_k}\leqslant \sum_{k=1}^n\dfrac1{3^{n-1}}=\dfrac{1-\dfrac{1}{3^n}}{1-\dfrac13}<\dfrac32.$$证毕．
答案
解析
备注
