$T$ 是一个圆的内接 $30$ 边形，求有多少个顶点在 $T$ 的顶点上的 $\triangle ABC$，且满足三角形的任意两个顶点都被 $T$ 的至少三个顶点分开？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1900$
【解析】
应用分步乘法计数原理：
$(1)$ 确定 $A$ 点的位置，有 $\mathrm{C}_{30}^1$ 种情况；
$(2)$ 设 $A$ 点与 $B$ 点之间有 $T$ 的 $x$ 个顶点，$B$ 与 $C$ 之间有 $T$ 的 $y$ 个顶点，$C$ 点与 $A$ 点之间有 $T$ 的 $z$ 个顶点．则$$x+y+z=27,x,y,z\geqslant 3,$$问题转化为不定方程$$x_1+y_1+z_1=21,x_1,y_1,z_1\geqslant 1.$$的解的个数，由隔板法可知有 $\mathrm{C}_{20}^2$ 种情况．
另外再考虑到 $A,B,C$ 三点的任意性可知所求三角形总数为$$\dfrac13\cdot\mathrm{C}_{30}^1\cdot\mathrm{C}_{20}^2=1900.$$
$(1)$ 确定 $A$ 点的位置，有 $\mathrm{C}_{30}^1$ 种情况；
$(2)$ 设 $A$ 点与 $B$ 点之间有 $T$ 的 $x$ 个顶点，$B$ 与 $C$ 之间有 $T$ 的 $y$ 个顶点，$C$ 点与 $A$ 点之间有 $T$ 的 $z$ 个顶点．则$$x+y+z=27,x,y,z\geqslant 3,$$问题转化为不定方程$$x_1+y_1+z_1=21,x_1,y_1,z_1\geqslant 1.$$的解的个数，由隔板法可知有 $\mathrm{C}_{20}^2$ 种情况．
另外再考虑到 $A,B,C$ 三点的任意性可知所求三角形总数为$$\dfrac13\cdot\mathrm{C}_{30}^1\cdot\mathrm{C}_{20}^2=1900.$$
答案
解析
备注
