设 $a_n$ 是函数 $f(x)=x^3+n^2x-1,n\in\mathbb N^\ast$ 的零点，证明：$\dfrac n{n+1}<a_1+a_2+\cdots+a_n<\dfrac32$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
先证明左边
分析通项，仅需证明 $a_n>\dfrac1{n(n+1)}$，而 $f(x)$ 单调递增，且值域为 $\mathbb R$，且$$f\left(\dfrac1{n(n+1)}\right)=\dfrac1{n^3(n+1)^3}-\dfrac1{n+1}<0,$$所以 $a_n>\dfrac1{n(n+1)}$，于是$$\dfrac n{n+1}<a_1+a_2+\cdots+a_n.$$再证明右边
$a_1<\dfrac34$，当 $n\geqslant 2$ 时，由于$$0=a_n^3+n^2a_n-1>n^2a_n-1,$$所以$$a_n<\dfrac1{n^2}<\dfrac{1}{n-\dfrac12}-\dfrac1{n+\dfrac12}.$$所以$$a_1+a_2+\cdots+a_n<a_1+\dfrac23-\dfrac1{n+\dfrac12}<\dfrac32.$$综上，证毕．
分析通项，仅需证明 $a_n>\dfrac1{n(n+1)}$，而 $f(x)$ 单调递增，且值域为 $\mathbb R$，且$$f\left(\dfrac1{n(n+1)}\right)=\dfrac1{n^3(n+1)^3}-\dfrac1{n+1}<0,$$所以 $a_n>\dfrac1{n(n+1)}$，于是$$\dfrac n{n+1}<a_1+a_2+\cdots+a_n.$$再证明右边
$a_1<\dfrac34$，当 $n\geqslant 2$ 时，由于$$0=a_n^3+n^2a_n-1>n^2a_n-1,$$所以$$a_n<\dfrac1{n^2}<\dfrac{1}{n-\dfrac12}-\dfrac1{n+\dfrac12}.$$所以$$a_1+a_2+\cdots+a_n<a_1+\dfrac23-\dfrac1{n+\dfrac12}<\dfrac32.$$综上，证毕．
答案
解析
备注
