已知集合 $A=\{1,2,3,\cdots,2n\}$，$n\in \mathbb N^\ast$．对于 $A$ 中的一个子集 $S$，若存在不大于 $n$ 的正整数 $m$，使得对于 $S$ 中的任意一对元素 $s_1,s_2$，都有 $|s_1-s_2|\neq m$，则称 $S$ 具有性质 $P$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $n=10$，试判断集合 $B=\{x\in A\mid x>9\}$ 和 $C=\{x\in A\mid x=3x-1,k\in\mathbb N^\ast\}$ 是否具有性质 $P$？标注答案$B$ 不具有性质 $P$，$C$ 具有性质 $P$解析根据题意可知$$B=\{10,11,\cdots,19,20\},$$显然不存在 $m\leqslant 10$，使得 $B$ 中的任意两元素之差的绝对值均不等于 $m$．同时$$C=\{2,5,8,\cdots,17,20\},$$该集合中任意两元素之差的绝对值均为 $3$ 的正整数倍，取 $m=1$，满足性质 $P$．
因此 $B$ 不具有性质 $P$，$C$ 具有性质 $P$． -
$n=1000$ 时
① 若集合 $S$ 具有性质 $P$，那么集合 $T=\{2001-x\mid x\in S\}$ 是否一定具有性质 $P$？并说明理由；
② 若集合 $S$ 具有性质 $P$，求集合 $S$ 中元素个数的最大值．标注答案① $T$ 一定具有性质 $P$；
② $S$ 中元素个数的最大值为 $1333$解析① 若集合 $S$ 具有性质 $P$，则存在 $m$，使得对于 $S$ 中的任意一对 $s_1,s_2$ 都有$$|s_1-s_2|\neq m.$$则存在 $m\leqslant 1000$，使得对于 $T$ 中的任意一对元素 $2001-s_1,2001-s_2$，均满足$$|(2001-s_1)-(2001-s_2)|=|s_1-s_2|\neq m,$$因此 $T$ 也满足性质 $P$．
② 设集合 $S$ 中的元素个数为 $k$，$k\in\mathbb N^\ast$ 且 $k\leqslant 2000$，结合 ① 可知，当 $S$ 具有性质 $P$ 时，$T=\{2001-x\mid x\in S\}$ 也具有性质 $P$，则 $S$ 与 $T$ 中必有一个集合中至少有一半以上的元素的数值均不大于 $1000$，不妨设 $S$ 中有 $t$ 个元素的数值小于等于 $1000$，则 $t\geqslant \dfrac k2$，记这 $t$ 个数分别为$$a_1< a_2< a_3<\cdots<a_t\leqslant 1000,$$于是$$a_i+m\leqslant 1000+1000=2000,i=1,2,\cdots,t.$$所以 $a_i+m\in A$，由于 $S$ 具有性质 $P$，因此$$a_i+m\notin S,i=1,2,\cdots,t.$$所以$$k+\dfrac k2\leqslant k+t\leqslant 2000.$$解得 $k\leqslant 1333$，当 $k=1333$ 时，存在 $m=667$，取$$S=\{1,2,3,\cdots,667,1335,\cdots,2000\}$$满足性质 $P$．因此 $S$ 中元素个数的最大值为 $1333$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
