证明：$\forall x>0,\dfrac{x-{\ln}x}{\mathrm{e}^x}\cdot(\mathrm{e}^x-x+1)>1-\dfrac1{\mathrm{e}^2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于 $x-{\ln}x\geqslant 1$ 恒成立，并且 $\mathrm{e}^x-x+1>0$，所以$$\dfrac{x-{\ln}x}{\mathrm{e}^x}\cdot(\mathrm{e}^x-x+1)\geqslant 1-\dfrac{x-1}{\mathrm{e}^x},x>0.$$等号当且仅当 $x=1$ 时成立，所以仅需证明$$\dfrac{x-1}{\mathrm{e}^x}\leqslant \dfrac1{\mathrm{e}^2},x>0.$$又即证明$$\mathrm{e}^{x-2}\geqslant x-1,x>0.$$而这是显然成立的，其中等号当且仅当 $x=2$ 时成立，两次不等式取等条件不一致，因此$$\forall x>0,\dfrac{x-{\ln}x}{\mathrm{e}^x}\cdot(\mathrm{e}^x-x+1)>1-\dfrac1{\mathrm{e}^2}.$$
答案
解析
备注
