已知 $\alpha,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，$\dfrac{\sin^4\alpha}{\cos^2\beta}+\dfrac{\cos^4\alpha}{\sin^2\beta}=1$，求证：$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据柯西不等式可知$$1=\dfrac{\sin^4\alpha}{\cos^2\beta}+\dfrac{\cos^4\alpha}{\sin^2\beta}\geqslant \dfrac{\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2}{\cos^2\beta+\sin^2\beta}=1.$$因此满足取等条件，又因为 $\alpha,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，所以$$\sin\alpha=\cos\beta.$$所以$$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}.$$
答案
解析
备注
