已知 $\alpha,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，$\dfrac{\sin^4\alpha}{\cos^2\beta}+\dfrac{\cos^4\alpha}{\sin^2\beta}=1$，求证：$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
对条件等式去分母，可得$$\sin^4\alpha\sin^2\beta+\cos^4\alpha\cos^2\beta=\sin^2\beta\cos^2\beta.$$再把角 $\alpha$ 的函数名统一为正弦，得$$\sin^4\alpha\sin^2\beta+(1-\sin^2\alpha)^2\cos^2\beta=\sin^2\beta\cos^2\beta.$$整理为关于主元 $\sin^2\alpha$ 的一元二次方程，便有$$\sin^4\alpha-2\cos^2\beta\sin^2\alpha+cos^2\beta(1-\sin^2\beta)=0.$$也即$$(\sin^2\alpha-\cos^2\beta)^2=0.$$又因为 $\alpha,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，所以$$\sin\alpha=\cos\beta.$$所以$$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}2.$$
答案
解析
备注
