题目 设函数 $f(x)={\rm e}^x-ax+a$，其中 ${\rm e}$ 为自然对数的底数，其图象与 $x$ 轴交于 $A(x_1,0)$，$B(x_2,0)$ 两点，且 $x_1<x_2$． 问题1 求实数 $a$ 的取值范围； 答案1 $\left({\rm e}^2,+\infty\right)$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x-a.\]当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 单调递增，不可能有两个零点；当 $a>0$ 时，有\[\begin{array} {c|ccc}\hline<br/>x&(-\infty,\ln a)&\ln a&(\ln a,+\infty)\\ \hline<br/>f'(x)&-&0&+\\ \hline<br/>f(x)&\searrow&\min &\nearrow \\ \hline\end{array}\]于是 $f(x)$ 的极小值，亦为最小值\[f(\ln a)=a(2-\ln a),\]因此 $a>{\rm e}^2$．又\[f(1)={\rm e}>0,\]且\[f(x)>1+x+\dfrac 12x^2-ax+a>\dfrac 12x(x+2-2a),\]于是取 $x_0=2a-2$，则\[f(x_0)>0,\]因此当 $a>{\rm e}^2$ 时，$f(x)$ 有两个零点．<br/>综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left({\rm e}^2,+\infty\right)$． 备注1 问题2 已知 $f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，求证：$f'\left(\dfrac{2x_1+x_2}3\right)<0$． 答案2 略 解析2 我们先证明\[x_1+x_2<2\ln a,\]即\[x_1<2\ln a-x_2,\]只需要证明\[\forall x>\ln a,f(x)>f(2\ln a-x),\]设\[\varphi(x)=f(x)-f(2\ln a-x),\]则\[\varphi(\ln a)=\varphi'(\ln a)=\varphi''(\ln a)=0,\]又\[\varphi''(x)=f''(x)-f''(2\ln a-x)={\rm e}^{x}-{\rm e}^{2\ln a-x}\]为 $(\ln a,+\infty)$ 上的单调递增函数，于是 $\varphi'(x)$ 在 $(\ln a,+\infty)$ 上单调递增，进而 $\varphi(x)$ 在 $(\ln a,+\infty)$ 上单调递增，引理得证．由于 $f'(x)$ 单调递增，且\[\dfrac{2x_1+x_2}3<\dfrac{x_1+x_2}2<\ln a,\]于是\[f'\left(\dfrac{2x_1+x_2}3\right)<f'(\ln a)=0,\]命题得证． 备注2