设 $x,y\in\mathbb R$，求函数 $f(x,y)=5x^2-4xy+y^2-10x+6y+7$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
视 $y$ 为主元，把函数整理为 $y$ 的二次函数，配方，可得$$\begin{split} f(x,y)&=y^2-2(2x-3)y+(5x^2-10x+7)\\
&=(y-2x+3)^2+x^2+2x-2\\
&=(y-2x+3)^2+(x+1)^2-3.\end{split}$$因此当 $2x-y-3=x+1=0$，即 $(x,y)=(-1,-5)$ 时，函数 $f(x,y)$ 取得最小值 $-3$．
&=(y-2x+3)^2+x^2+2x-2\\
&=(y-2x+3)^2+(x+1)^2-3.\end{split}$$因此当 $2x-y-3=x+1=0$，即 $(x,y)=(-1,-5)$ 时，函数 $f(x,y)$ 取得最小值 $-3$．
答案
解析
备注
