若实数 $a,b,c$ 满足 $2^a+2^b=2^{a+b}$，$2^a+2^b+2^c=2^{a+b+c}$，求 $c$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
${\log_2}\dfrac43=2-{\log_2}3$
【解析】
根据题意设$$(x,y,z)=(2^a,2^b,2^c),$$则 $x,y,z\in\mathbb R^+$，且有$$\begin{cases} x+y=xy,\\
x+y+z=xyz,\end{cases}$$联立消元可得$$z=\dfrac{x+y}{xy-1}=\dfrac{x^2}{x^2-x+1},x>1.$$而$$\dfrac{x^2}{x^2-x+1}=1+\dfrac{1}{x-1+\dfrac1{x-1}+1}\leqslant 1+\dfrac13=\dfrac43.$$当 $x-1=\dfrac1{x-1}$ 也即 $x=2$ 时 $z$ 取得最大值 $\dfrac43$．所以 $c$ 的最大值为$${\log_2}\dfrac43=2-{\log_2}3.$$
x+y+z=xyz,\end{cases}$$联立消元可得$$z=\dfrac{x+y}{xy-1}=\dfrac{x^2}{x^2-x+1},x>1.$$而$$\dfrac{x^2}{x^2-x+1}=1+\dfrac{1}{x-1+\dfrac1{x-1}+1}\leqslant 1+\dfrac13=\dfrac43.$$当 $x-1=\dfrac1{x-1}$ 也即 $x=2$ 时 $z$ 取得最大值 $\dfrac43$．所以 $c$ 的最大值为$${\log_2}\dfrac43=2-{\log_2}3.$$
答案
解析
备注
