已知 $a,b,c$ 为正实数，且 $a+b+c=12,ab+bc+ac=45$，试求 $abc$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$54$
【解析】
根据题意有$$a+c=12-b,$$代入 $ab+bc+ac=45$ 的变形式$$b(a+c)+ac=45,$$并整理可得$$ca=b^2-12b+45.$$于是 $b,c$ 是如下关于 $t$ 的一元二次方程$$t^2-(12-b)t+(b^2-12b+45)=0$$的两个根．因为 $t$ 是实数，所以上述方程有实数根，从而有判别式$$\Delta=(12-b)^2-4(b^2-12b+45)\geqslant 0,$$解得$$2\leqslant b\leqslant 6,$$于是$$abc=(b^2-12b+45)b=(b-3)^2(b-6)+54\leqslant 54.$$当 $(a,b,c)=(3,3,6)$ 时，$abc$ 取得最大值 $54$．
答案
解析
备注
