已知 $x,y>0$，且 $x\neq y$，$x^2-y^2=x^3-y^3$，求证：$1<x+y<\dfrac43$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据已知条件等式可得$$(x-y)(x+y)=(x-y)(x^2+xy+y^2),$$因为 $x\neq y$，所以$$x+y=x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy<(x+y)^2,$$所以$$x+y>1,$$又$$\begin{split} x+y&=x^2+xy+y^2\\
&=(x+y)^2-xy\\
&>(x+y)^2-\dfrac14(x+y)^2\\
&=\dfrac34(x+y)^2,\end{split}$$所以$$x+y<\dfrac43.$$综上所述$$1<x+y<\dfrac43.$$证毕．
&=(x+y)^2-xy\\
&>(x+y)^2-\dfrac14(x+y)^2\\
&=\dfrac34(x+y)^2,\end{split}$$所以$$x+y<\dfrac43.$$综上所述$$1<x+y<\dfrac43.$$证毕．
答案
解析
备注
