已知 $x,y,z\geqslant 0$，且 $x+y+z=1$，求 $(z-x)(z-y)$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[-\dfrac18,1\right]$
【解析】
先求最大值
因为 $x,y,z\geqslant 0$，且 $x+y+z=1$，所以 $0\leqslant z\leqslant 1$，从而$$\begin{split} (z-x)(z-y)&=z^2-(x+y)z+xy\\
&\leqslant z^2-(1-z)z+\dfrac14(x+y)^2\\
&=z^2-(1-z)z+\dfrac14(1-z)^2\\
&=\dfrac94\left(z-\dfrac13\right)^2\\
&\leqslant 1.\end{split}$$当 $(x,y,z)=(0,0,1)$ 时，等号成立，因此所求表达式的最大值为 $1$．
再求最小值
因为$$\begin{split} (z-x)(z-y)&=z^2-(x+y)z+xy\\
&\geqslant z^2-(1-z)z\\
&=2\left(z-\dfrac14\right)^2-\dfrac18\\
&\geqslant -\dfrac18.\end{split}$$当 $(x,y,z)=\left(\dfrac34,0,\dfrac14\right)$ 时，等号成立，因此所求表达式的最小值为 $-\dfrac18$．综上所求表达式的取值范围为 $\left[-\dfrac18,1\right]$．
因为 $x,y,z\geqslant 0$，且 $x+y+z=1$，所以 $0\leqslant z\leqslant 1$，从而$$\begin{split} (z-x)(z-y)&=z^2-(x+y)z+xy\\
&\leqslant z^2-(1-z)z+\dfrac14(x+y)^2\\
&=z^2-(1-z)z+\dfrac14(1-z)^2\\
&=\dfrac94\left(z-\dfrac13\right)^2\\
&\leqslant 1.\end{split}$$当 $(x,y,z)=(0,0,1)$ 时，等号成立，因此所求表达式的最大值为 $1$．
再求最小值
因为$$\begin{split} (z-x)(z-y)&=z^2-(x+y)z+xy\\
&\geqslant z^2-(1-z)z\\
&=2\left(z-\dfrac14\right)^2-\dfrac18\\
&\geqslant -\dfrac18.\end{split}$$当 $(x,y,z)=\left(\dfrac34,0,\dfrac14\right)$ 时，等号成立，因此所求表达式的最小值为 $-\dfrac18$．综上所求表达式的取值范围为 $\left[-\dfrac18,1\right]$．
答案
解析
备注
