求证：对正实数 $x,y$ 及任意实数 $\theta$，恒有 $x^{\sin^2\theta}\cdot y^{\cos^2\theta}<x+y$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $x>y$ 时，有$$x^{\sin^2\theta}\cdot y^{\cos^2\theta}=x\cdot\left(\dfrac yx\right)^{\cos^2\theta}\leqslant x<x+y,$$当 $x=y$ 时，有$$x^{\sin^2\theta}\cdot y^{\cos^2\theta}=x^{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=x<x+y,$$当 $x<y$ 时，有$$x^{\sin^2\theta}\cdot y^{\cos^2\theta}=\left(\dfrac xy\right)^{\sin^2\theta}\cdot y\leqslant y< x+y.$$综上，原不等式得证．
答案
解析
备注
