已知 $x,y,z$ 为非负数，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}x(x-\sqrt{yz})\geqslant 0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由均值不等式，得$$\begin{split} 2x^2+y^2+z^2\geqslant 4\sqrt[4]{x^2x^2y^2z^2}=4x\sqrt{yz},\end{split}$$同理可得$$\begin{split} &2y^2+z^2+x^2\geqslant 4y\sqrt{zx} ,\\
&2z^2+x^2+y^2\geqslant 4z\sqrt{xy},\end{split}$$三式相加可得$$\displaystyle \sum_{cyc}x(x-\sqrt{yz})\geqslant 0.$$于是证毕．
&2z^2+x^2+y^2\geqslant 4z\sqrt{xy},\end{split}$$三式相加可得$$\displaystyle \sum_{cyc}x(x-\sqrt{yz})\geqslant 0.$$于是证毕．
答案
解析
备注
