已知 $a,b,c$ 都是正实数，求证：$\dfrac a{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geqslant \dfrac32$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于不等式左边为齐次式，不妨设$$a+b+c=1,$$由柯西不等式可得$$\sum \dfrac a{b+c}\cdot\sum a(b+c)\geqslant \left(\sum a\right)^2,$$因此只需要证明$$\dfrac1{\sum a(b+c)}\geqslant \dfrac32.$$即$$3\sum a(b+c)\leqslant 2,$$又即$$3(ab+bc+ca)\leqslant 1.$$而$$1=(a+b+c)^2\geqslant 3(ab+bc+ac).$$于是原不等式证毕．
答案
解析
备注
