已知 $a,b,c$ 都是正实数，求证：$\dfrac a{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geqslant \dfrac32$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，则$$a+b\geqslant c+a\geqslant b+c,$$从而$$\dfrac{1}{b+c}\geqslant\dfrac1{c+a}\geqslant \dfrac1{a+b},$$由排序不等式可得$$\begin{split} &\dfrac a{b+c}+\dfrac b{c+a}+\dfrac c{a+b}\geqslant \dfrac b{b+c}+\dfrac c{c+a}+\dfrac a{a+b},\\
&\dfrac a{b+c}+\dfrac b{c+a}+\dfrac c{a+b}\geqslant \dfrac c{b+c}+\dfrac a{c+a}+\dfrac b{a+b}. \end{split}$$两式相加即得．
&\dfrac a{b+c}+\dfrac b{c+a}+\dfrac c{a+b}\geqslant \dfrac c{b+c}+\dfrac a{c+a}+\dfrac b{a+b}. \end{split}$$两式相加即得．
答案
解析
备注
