已知 $a,b,c$ 都是正实数，求证：$\dfrac a{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geqslant \dfrac32$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
令$$(x,y,z)=(b+c,c+a,a+b),$$则$$(a,b,c)=\left(\dfrac{y+z-x}{2},\dfrac{z+x-y}{2},\dfrac{x+y-z}{2}\right),$$于是$$\begin{split}\dfrac a{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}&=\dfrac{y+z-x}{2x}+\dfrac{z+x-y}{2y}+\dfrac{x+y-z}{2z}\\
&=\dfrac y{2z}+\dfrac z{2x}+\dfrac z{2y}+\dfrac x{2y}+\dfrac x{2z}+\dfrac{y}{2z}-\dfrac32\\
&\geqslant 1+1+1-\dfrac32\\
&=\dfrac32.\end{split}$$证毕．
&=\dfrac y{2z}+\dfrac z{2x}+\dfrac z{2y}+\dfrac x{2y}+\dfrac x{2z}+\dfrac{y}{2z}-\dfrac32\\
&\geqslant 1+1+1-\dfrac32\\
&=\dfrac32.\end{split}$$证毕．
答案
解析
备注
