已知 $a,b,c$ 是正实数，且 $a^2+b^2+c^2=12$，求证：$a^3+b^3+c^3\geqslant 24$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由柯西不等式可得$$(a+b+c)^2\leqslant 3(a^2+b^2+c^2)=36,$$从而$$a+b+c\leqslant 6,$$再由柯西不等式$$(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)\geqslant (a^2+b^2+c^2)^2=144.$$所以$$a^3+b^3+c^3\geqslant 24.$$证毕．
答案
解析
备注
