$\triangle ABC$ 中，$P$ 为其内部一点，过 $P$ 作三边垂线，分别交三边于 $D,E,F$，求使 $\dfrac{AC}{PE}+\dfrac{AB}{PF}+\dfrac{BC}{PD}$ 值最小的 $P$ 点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$P$ 的位置为 $\triangle ABC$ 内心时，$\dfrac{AC}{PE}+\dfrac{AB}{PF}+\dfrac{BC}{PD}$ 的值最小
【解析】
由柯西不等式，得$$\left(\dfrac{AC}{PE}+\dfrac{AB}{PF}+\dfrac{BC}{PD}\right)(AC\cdot PE+AB\cdot PF+BC\cdot PD)\geqslant (AC+AB+BC)^2,$$而$$AC\cdot PE+AB\cdot PF+BC\cdot PD=2S_{\triangle ABC},$$故$$\dfrac{AC}{PE}+\dfrac{AB}{PF}+\dfrac{BC}{PD}\geqslant \dfrac{(AC+BC+AC)^2}{2S_{\triangle ABC}},$$当且仅当 $PE=PF=PD$ 时，等号成立．因此 $P$ 的位置为 $\triangle ABC$ 内心时，所求表达式取得最小值．
答案
解析
备注
