已知 $a,b$ 都是负实数，求 $\dfrac a{a+2b}+\dfrac b{a+b}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt2-2$
【解析】
记所求表达式为 $M$，令 $(x,y)=(a+2b,a+b)$，则$$(a,b)=(2y-x,x-y),x,y<0.$$于是$$ M=\dfrac{2y-x}{x}+\dfrac{x-y}{y}
=\dfrac{2y}{x}+\dfrac xy-2\geqslant 2\sqrt2-2.$$当且仅当 $\dfrac{2y}x=\dfrac xy$ 即 $a=\sqrt2 b$ 时，等号成立．故 $M$ 的最小值为 $2\sqrt2-2$．
=\dfrac{2y}{x}+\dfrac xy-2\geqslant 2\sqrt2-2.$$当且仅当 $\dfrac{2y}x=\dfrac xy$ 即 $a=\sqrt2 b$ 时，等号成立．故 $M$ 的最小值为 $2\sqrt2-2$．
答案
解析
备注
