已知 $a,b$ 都是负实数，求 $\dfrac a{a+2b}+\dfrac b{a+b}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt2-2$
【解析】
记所求表达为 $M$，由于是齐次式，不妨令 $a+b=1$，则$$\begin{split} M&=\dfrac a{1+b}+b\\
&=\dfrac{1-b}{1+b}+b\\
&=\dfrac 2{1+b}+(1+b)-2\\
&\geqslant 2\sqrt2-2.\end{split}$$当且仅当 $\dfrac2{1+b}=1+b$，即 $a=\sqrt2b$ 时，等号成立．所以 $M$ 的最小值为 $2\sqrt2-2$．
&=\dfrac{1-b}{1+b}+b\\
&=\dfrac 2{1+b}+(1+b)-2\\
&\geqslant 2\sqrt2-2.\end{split}$$当且仅当 $\dfrac2{1+b}=1+b$，即 $a=\sqrt2b$ 时，等号成立．所以 $M$ 的最小值为 $2\sqrt2-2$．
答案
解析
备注
