已知 $a,b$ 都是负实数，求 $\dfrac a{a+2b}+\dfrac b{a+b}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt2-2$
【解析】
记所求表达式为 $M$，由 $a,b<0$ 得 $\dfrac ab>0,\dfrac ba>0$，则$$\begin{split} M&=\dfrac{a^2+2ab+2b^2}{(a+2b)(a+b)}\\
&=\dfrac{a^2+2ab+2b^2}{(a^2+2ab+2b^2)+ab}\\
&=\dfrac1{1+\dfrac{ab}{a^2+2ab+2b^2}}\\
&=\dfrac1{1+\dfrac1{\dfrac ab+2+\dfrac{2b}{a}}}\\
&\geqslant \dfrac1{1+\dfrac1{2\sqrt2+2}}\\
&=2\sqrt2-2.\end{split}$$当且仅当 $\dfrac ab=\dfrac{2b}{a}$ 即 $a=\sqrt2b$ 时，等号成立．所以 $M$ 得最小值为 $2\sqrt2-2$．
&=\dfrac{a^2+2ab+2b^2}{(a^2+2ab+2b^2)+ab}\\
&=\dfrac1{1+\dfrac{ab}{a^2+2ab+2b^2}}\\
&=\dfrac1{1+\dfrac1{\dfrac ab+2+\dfrac{2b}{a}}}\\
&\geqslant \dfrac1{1+\dfrac1{2\sqrt2+2}}\\
&=2\sqrt2-2.\end{split}$$当且仅当 $\dfrac ab=\dfrac{2b}{a}$ 即 $a=\sqrt2b$ 时，等号成立．所以 $M$ 得最小值为 $2\sqrt2-2$．
答案
解析
备注
