已知 $a,b,c$ 是正数，且 $abc=1$，求证：$\displaystyle \sum \dfrac1{1+a^2+b^2}\leqslant 1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设$$(a,b,c)=(x^3,y^3,z^3),$$则 $xyz=1$，于是$$\begin{split} \sum \dfrac1{a^2+b^2}&=\sum\dfrac{x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2+x^6+y^6}\\
&\leqslant \sum\dfrac{x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2+x^4y^2+x^2y^4}\\
&=\sum \dfrac{z^2}{x^2+y^2+z^2}\\
&=1. \end{split}$$证毕．
&\leqslant \sum\dfrac{x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2+x^4y^2+x^2y^4}\\
&=\sum \dfrac{z^2}{x^2+y^2+z^2}\\
&=1. \end{split}$$证毕．
答案
解析
备注
