设 $a,b,c$ 均为正实数，求证：$\sqrt{\dfrac a{b+c}}+\sqrt{\dfrac b{c+a}}+\sqrt{\dfrac c{a+b}}>2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由基本不等式，得：$$\sqrt{\dfrac a{b+c}}=\dfrac a{\sqrt a\sqrt {b+c}}\geqslant \dfrac a{\dfrac {a+b+c}{2}}=\dfrac {2a}{a+b+c},$$同理得$$\begin{split} &\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\geqslant \dfrac{2b}{a+b+c},\\
&\sqrt{\dfrac c{a+b}}\geqslant \dfrac {2c}{a+b+c}.\end{split}$$三个不等式相加得$$\sqrt{\dfrac a{b+c}}+\sqrt{\dfrac b{c+a}}+\sqrt{\dfrac c{a+b}}\geqslant 2,$$若要上式等号成立，则需$$\begin{cases} a=b+c,\\
b=c+a,\\
c=a+b, \end{cases}$$即$$a+b+c=0.$$而这是不可能的，因此等号不成立．于是原不等式得证．
&\sqrt{\dfrac c{a+b}}\geqslant \dfrac {2c}{a+b+c}.\end{split}$$三个不等式相加得$$\sqrt{\dfrac a{b+c}}+\sqrt{\dfrac b{c+a}}+\sqrt{\dfrac c{a+b}}\geqslant 2,$$若要上式等号成立，则需$$\begin{cases} a=b+c,\\
b=c+a,\\
c=a+b, \end{cases}$$即$$a+b+c=0.$$而这是不可能的，因此等号不成立．于是原不等式得证．
答案
解析
备注
