已知 $\sin^3\theta+\cos^3\theta=1$，求 $\sin\theta+\cos\theta$ 与 $\sin^4\theta+\cos^4\theta$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sin\theta+\cos\theta=\sin^4\theta+\cos^4\theta=1$
【解析】
由于$$\sin^3\theta+\cos^3\theta=1,$$所以$$0\leqslant \sin\theta,\cos\theta\leqslant 1.$$记函数$$f(x)=\sin^x\theta+\cos^x\theta,$$若$$0<\sin\theta,\cos\theta<1,$$则 $f(x)$ 单调递减，这与$$f(3)=f(2)=1,$$相矛盾．因此 $\sin\theta$ 与 $\cos\theta$ 当中必然是一个为 $0$，一个为 $1$．从而$$\sin\theta+\cos\theta=\sin^4\theta+\cos^4\theta=1.$$
答案
解析
备注
