已知 $\sin^3\theta+\cos^3\theta=1$，求 $\sin\theta+\cos\theta$ 与 $\sin^4\theta+\cos^4\theta$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sin\theta+\cos\theta=\sin^4\theta+\cos^4\theta=1$
【解析】
由于$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=\sin^3\theta+\cos^3\theta=1,$$所以$$\sin^2\theta(1-\sin\theta)+\cos^2\theta(1-\cos\theta)=0.$$又因为$$\left(\sin^2\theta(1-\sin\theta)\geqslant 0\right)\land\left(\cos^2\theta(1-\cos\theta)\geqslant 0\right).$$所以 $\sin\theta,\cos\theta$ 必有一个为 $0$，另一个为 $1$．从而$$\sin\theta+\cos\theta=\sin^4\theta+\cos^4\theta=1.$$
答案
解析
备注
