已知二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，当 $|x|\leqslant 1$ 时，$|f(x)|\leqslant 1$，求证：当 $|x|\leqslant 2$ 时，$|f(x)|\leqslant 7$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于$$\begin{cases} f(1)=a+b+c,\\
f(0)=c,\\
f(-1)=a-b+c, \end{cases}$$所以$$\begin{cases} a=\dfrac12[f(1)+f(-1)-2f(0)],\\
c=f(0), \end{cases}$$从而$$\begin{cases} |a|\leqslant \dfrac12\left(|f(1)|+|f(-1)|+2|f(0)|\right) \leqslant 2,\\
|c|= |f(0)|\leqslant 1. \end{cases}$$当 $|x|\leqslant 2$ 时，$\bigg|\dfrac x2\bigg|\leqslant 1$，从而$$f\left(\dfrac x2\right)=\bigg|\dfrac14ax^2+\dfrac12bx+c\bigg|\leqslant 1,$$于是$$\begin{split} |f(x)|&=|ax^2+bx+c|\\
&=\bigg| 2\left(\dfrac14ax^2+\dfrac12bx+c\right)+\dfrac12ax^2-c \bigg|\\
&\leqslant 2\bigg|\dfrac14ax^2+\dfrac12bx+c \bigg|+\dfrac12|a|x^2+|x|\\
&\leqslant 2\cdot 1+\dfrac12\cdot 2\cdot 2^2+1\\
&=7.
\end{split}$$证毕．
f(0)=c,\\
f(-1)=a-b+c, \end{cases}$$所以$$\begin{cases} a=\dfrac12[f(1)+f(-1)-2f(0)],\\
c=f(0), \end{cases}$$从而$$\begin{cases} |a|\leqslant \dfrac12\left(|f(1)|+|f(-1)|+2|f(0)|\right) \leqslant 2,\\
|c|= |f(0)|\leqslant 1. \end{cases}$$当 $|x|\leqslant 2$ 时，$\bigg|\dfrac x2\bigg|\leqslant 1$，从而$$f\left(\dfrac x2\right)=\bigg|\dfrac14ax^2+\dfrac12bx+c\bigg|\leqslant 1,$$于是$$\begin{split} |f(x)|&=|ax^2+bx+c|\\
&=\bigg| 2\left(\dfrac14ax^2+\dfrac12bx+c\right)+\dfrac12ax^2-c \bigg|\\
&\leqslant 2\bigg|\dfrac14ax^2+\dfrac12bx+c \bigg|+\dfrac12|a|x^2+|x|\\
&\leqslant 2\cdot 1+\dfrac12\cdot 2\cdot 2^2+1\\
&=7.
\end{split}$$证毕．
答案
解析
备注
