已知二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，当 $|x|\leqslant 1$ 时，$|f(x)|\leqslant 1$，求证：当 $|x|\leqslant 2$ 时，$|f(x)|\leqslant 7$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于$$\begin{cases} f(1)=a+b+c,\\
f(0)=c,\\
f(-1)=a-b+c,\end{cases}$$所以$$\begin{cases} a=\dfrac12f(1)+\dfrac12f(-1)-f(0),\\
b=\dfrac12f(1)-\dfrac12f(-1),\\
c=f(0), \end{cases}$$所以$$f(x)=\dfrac{x^2+x}{2}f(1)+\dfrac{x^2-x}{2}f(-1)+(1-x^2)f(0),$$由条件可知 $|f(1)|\leqslant 1,|f(-1)|\leqslant 1,|f(0)|\leqslant 1$．于是$$|f(x)|\leqslant \bigg|\dfrac{x^2+x}{2}\bigg|+\bigg|\dfrac{x^2-x}{2}\bigg|+|1-x^2|,$$又因为 $|x|\leqslant 2$，所以$$\bigg| \dfrac{x^2+x}{2}\bigg|\leqslant 3,\bigg| \dfrac{x^2-x}{2}\bigg|\leqslant 1,\bigg|1-x^2\bigg|\leqslant 3.$$因此当 $|x|\leqslant 2$ 时$$|f(x)|\leqslant 3+1+3=7.$$证毕．
f(0)=c,\\
f(-1)=a-b+c,\end{cases}$$所以$$\begin{cases} a=\dfrac12f(1)+\dfrac12f(-1)-f(0),\\
b=\dfrac12f(1)-\dfrac12f(-1),\\
c=f(0), \end{cases}$$所以$$f(x)=\dfrac{x^2+x}{2}f(1)+\dfrac{x^2-x}{2}f(-1)+(1-x^2)f(0),$$由条件可知 $|f(1)|\leqslant 1,|f(-1)|\leqslant 1,|f(0)|\leqslant 1$．于是$$|f(x)|\leqslant \bigg|\dfrac{x^2+x}{2}\bigg|+\bigg|\dfrac{x^2-x}{2}\bigg|+|1-x^2|,$$又因为 $|x|\leqslant 2$，所以$$\bigg| \dfrac{x^2+x}{2}\bigg|\leqslant 3,\bigg| \dfrac{x^2-x}{2}\bigg|\leqslant 1,\bigg|1-x^2\bigg|\leqslant 3.$$因此当 $|x|\leqslant 2$ 时$$|f(x)|\leqslant 3+1+3=7.$$证毕．
答案
解析
备注
